調和解析で「拡張作用素」と呼ばれる道具があります。

これは曲面（たとえば放物面・球面・円錐など）上の関数を空間全体に“波”として延ばす操作で、物理でいえば許された周波数だけを使って空間に干渉模様を描くことに相当します。

溝畑・竹内予想（Mizohata–Takeuchi）は、この拡張作用素が作る模様の「形」を、重み関数の「直線に沿った総量（X線変換＝直線平均）」で上から押さえ込める、という主張でした。

より専門的に言えば「重み付きL²評価」を、重みのX線最大関数（すべての直線に沿った重みの積分値の最大）で制御する仮説です。

つまり「曲面由来の波のエネルギーは、本質的に“線分（チューブ）構造”に従うはずだ」という幾何学的な見立てとなります。

フーリエ制限理論は通常Lᵖ→Lᑫの写像指数の議論が多いのですが、この予想は珍しく「レベル集合の形」に踏み込んで、エネルギーの線状集中を直線平均で数えれば十分だと述べていました。

この意味で溝畑・竹内予想とSteinの予想は、レベル集合の幾何を通じて制限問題・Bochner–Riesz・Kakeyaといった分野の核心を“1本の橋”でつなぐ企てだったのです。

歴史的には、分散型偏微分方程式（PDE）の初期値問題が出発点です。

1970〜80年代に竹内正美はシュレディンガー方程式の一次摂動に対するL²の適切性条件を与えようとし、その過程で直線に沿った係数の積分条件が十分条件になり得ると主張しました。

その後、溝畑宏文が議論の誤りを指摘し、問題は「拡張作用素に対する重み付きL²評価」へと自然に置き換えられていきます。

つまり、PDEの適切性（well-posedness）からスタートし、調和解析の幾何学問題へと発展したのがこの仮説の成り立ちです。

この仮説が正しかった場合、直線平均による制御を核に、Kakeya型最大関数やNikodym最大関数を経由し、Bochner–Riesz乗数や制限不等式（とくに臨界的な場合）へと繋がるルートが浮かび上がります。