2つの波長 λ1, λ2 をもつ電場を重ねた全電場を E(t) とし、偏光の時間変化を擬スピン s(t) に写像します。擬スピンは正規化ストークス・ベクトルの拡張として

s(t) = (sx, sy, sz)

sx = [E*(t) sigma3 E(t)] / [E*(t) E(t)]

sy = [E*(t) sigma1 E(t)] / [E*(t) E(t)]

sz = [E*(t) sigma2 E(t)] / [E*(t) E(t)]

で定義されます（sigma1, sigma2, sigma3 は Pauli 行列）。二色の波長比が有理数のとき、E(t) は時間に対してビート周期を持ち、擬スピンは周期的に閉じた軌跡（Lissajous 的）を描きます。波長差が小さい極限では、s(t) は瞬時ストークスに近似されます。

1D 時空ホプフィオン結晶（基本設計）

横断面 (x, y) と時間 t で完結する1周期セル内に、ホプフィオンの境界条件（中心と無限遠で spin-up、内部に spin-down の輪）を満たすよう、円偏光の 2成分に異なる空間モードを割り当てます。最も基本の P=1 構成は概略

E(r, t) =

[ LG00(r,t|λ1) + LG01(r,t|λ2) ] * e_L

+ [ LG10(r,t|λ1) – LG10(r,t|λ2) ] * e_R

（r=(x,y), e_L/e_R は左/右円偏光の単位ベクトル）。
LG00 と LG01 の半径方向での位相反転により強度ゼロのリング（spin-down 円）が形成され、他方成分の LG10 を対に配置することで時間軸上の境界条件（瞬間的な一様 spin-up）を実現します。これにより、等方位線（isospin lines）がトーラス上の閉曲線をなす 3D 結び目構造が1周期ごとに現れます。Hopf 密度を体積積分して得られるHopf 数 Q_Hは基礎例でほぼ整数（≈ ±1）です。

高次化と符号反転（設計つまみ）

ホプフィオンの Hopf 数は Q_H = P × Q（P は (x,y) 面の巻き数、Q は (x,t) 面の巻き数）で与えられます。本論文では主として P の制御を示し、任意の整数 Pを持つセルを合成します。鍵は、LG0p を重み付きで重ねて半径多項式 r^(2pm) − r0^(2pm) を合成することです。代表的な構成は