擬スピン場 s(x,y,ζ)（ζ=ct）から擬磁場 F とベクトルポテンシャル A を定義し、Hopf 密度 ρ_H = F · A を積分して Q_H を得ます。
Q_H = (1 / (4 pi)^2) ∫∫∫ F · A dx dy dζ
F_i = (1/2) * epsilon_ijk * [ s · (partial_j s cross partial_k s) ]
curl A = F
ゲージに依存して ρ_H の形は変わり得ますが、体積積分 Q_H はゲージ不変です。計算は空間・時間の 3D フーリエ空間で curl A = F を解く形で実装されています。
伝搬（“飛ぶ”条件）と設計上の留意点
本研究の時空設計はz=0 面で議論されていますが、ビートによる包絡変調が回折拡がりを上回る設計条件では、ホプフィオン列が有限距離を伝搬しつつ Q_H を保持することが数値的に示されています。Rayleigh 長が「格子の空間周期」より十分大きいときは Q_H が理想値に近い一方、同程度以下に短くなると負の Hopf 密度が混入し、Q_H は理想値から劣化します。すなわち、Rayleigh 長 >> 周期が安定伝搬の目安です。
既存アプローチとの差分
- 回折・Gouy 位相を意図的に活用して z 方向で構造を組む先行法に対し、本設計はz=0 面の時空干渉（2色ビート）で局所的に 3D トポロジーを実現。
- 高次 Hopf 数の系統設計（P の任意整数化と符号反転）が、LG モードの合成と二色パラメタの切替だけで与えられる。
- 遠方界アレイという実装指向の具体設計（ソース配置・偏光・位相・スケーリング条件）が提示されている。
数値設定の代表例（再現の足がかり）
- 二色比の一例：λ1 = 1 μm, λ2 = 1/1.01 μm（ビート長 ct = 100 μm 例）。
- ビーム腰半径：10 μm（z=0）。
- 高次例：P = 2, 3 で Q_H = −2, −3。
- 補足の“飛行”例：条件良好では 5 周期合算で Q_H ≈ 4.98、条件不良では ≈ 3.5。
- 3D 結晶：理想的には 1 波長あたり 17 ソース、二色で 33 位置（近接波長なら近似して簡素化可）。
