古代バビロニアの数学をご存知ですか？
「大昔の数学でしょ？」と侮ってはいけません！彼らの数学には、21世紀を生きる私たちを驚かせるような成果がたくさんあります。
今回は、古代バビロニアの「2次方程式の解き方」を紹介します。
現代人の私たちは、文字式を駆使しながら解いていますが、古代バビロニアの人たちは、一体どんな風に解いていたのでしょうか？
古代バビロニアの2次方程式の問題
まず、古代バビロニアの2次方程式に関する問題を見てみましょう。
“例えばスーサ出土の問題集（TMS,No.6）に, 「正方形の面積から,一辺の長さの4倍が引かれて780.[一辺の長さはいくらか？];問題2.1」 という問題があり（後略）” （引用元：中村 滋,室井 和男「数学史 ―数学5000年の歩み―」p.78）
と、数学史の本に書かれています。
この問題を書き換えてみると、
「正方形の一辺の長さをxとします。この正方形の面積から4xを引くと780になります。xの値を求めましょう。」
という問題になります。いにしえの問題ではありますが、まるで中学校の教科書の例題のようです！
立式してみると、正方形の面積は「xの2乗」なので
x2 - 4x = 780
が成り立つということになりますね。この2次方程式を解いて、xの値を求めれば良いのです。
古代バビロニアの2次方程式の解き方
次に、先ほどの2次方程式
x2 - 4x = 780
を、古代バビロニア人はどのように解いたのかを見ていきましょう。
“（前略）当時の解放に倣って解いてみる.「4を半分に君は分割する.2.2と2を君は互いに掛ける.4.4を780に加えて784.その平方根は28.君が互いに掛けた2を28に君は加えて30.30が1辺の長さである.」となる.” （引用元：中村 滋,室井 和男「数学史 ―数学5000年の歩み―」p.78）
不思議な言い回しですが、どうやら答えは「30」のようです。
この古代バビロニア流の解き方を整理してみましょう。
①4を半分にして2 ②2×2=4 ③780+4=784 ④28×28=784より、784の（正の）平方根は28 ⑤28+2=30
という計算をして、「30」を導き出しているようです。
果たして、この方法で導き出した答えは合っているのでしょうか？確認してみましょう。
先ほどの2次方程式に「x=30」を代入して計算してみると……
302 - 4 × 30 = 900 - 120 = 780
見事に「780」となりました！合っていますね！
ちなみに、「x=-26」も、この2次方程式の解となります。しかし、今回の問題では、xを正方形の一辺の長さとしていたので、負の解は適していません。
古代バビロニアの解法の解説
まるで、魔法のような古代バビロニアの解法。一体、何をしているのでしょうか？現代風に書き換えながら、調べてみましょう。
前提知識は、中学校で習う公式
x2 - 2ax + a2 = (x - a)2
です。これを公式(1)とおいてみます。
では、やってみましょう！
まず、
x2 - 4x = 780
のxの係数の4を
x2 - 2 × 2x2 = 780
とします。ここが、古代バビロニアの解法の「①4を半分にして2」に対応します。
次に、両辺に「2×2」つまり「2の2乗」を加えます。ここが、古代バビロニアの解法の「②2×2=4」と「③780+4=784」に対応します。
x2 - 2 × 2x + 22 = 784
この式を(2)とおいてみます。
ここで、公式(1)を使ってみましょう。公式(1)に、「a=2」を代入すると
x2 - 2 × 2x + 22 = (x - 2)2
となりますね。この式を使うと、(2)の式は
(x - 2)2 = 784
と書くことができます。「(x-2)を2乗すると、784になる」という式が出てきました。
ここで、「2乗して784になる数」つまり「784の平方根」を求めると、「28と-28」となります。
つまり
x - 2 = 28, -28
ということになります。ここが、古代バビロニアの解法の「④28×28=784より、784の（正の）平方根は28」に対応します。
最後に、両辺に2を加えると
x = 30, -26
となり、2次方程式の解が導き出せました。ここが、古代バビロニアの解法の「⑤28+2=30」に対応します（※今回、xは正方形の長さだったので、xは正でなければなりません。よって、「30」が答えとなります）。
この解き方、中学校や高校の教科書で見たことがありませんか？私たちが「平方完成」と呼んでいる方法です！
古代バビロニア人は見事に「平方完成」を使って、2次方程式を解いていたのでした。いにしえの数学、しっかり現代に繋がっているんですね。
参考文献
中村 滋,室井 和男（著）「数学史 ―数学5000年の歩み―」（共立出版株式会社）
文・ライター：みのきち 編集者：やまがしゅんいち／提供元・ナゾロジー
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